Mon premier livret d'épargne (4)

Clara : On passe maintenant à la deuxième possibilité : tu ouvres un livret jeune et tu déposes \(5~000\) euros auxquels s'appliquent tous les ans des intérêts composés de \(2~\%\).

Posons \((v_n)\) la suite définie pour \(n\) entier naturel telle que \(v_n\) représente l'argent présent sur le livret à l'année \(2025+n\).
Ainsi \(v_{\color{red}0}\) représente l'argent sur le livret à l'année \(2025+\color{red}0=2025\) et  \(v_{\color{blue}1}\) représente l'argent sur le livret à l'année \(2025+\color{blue}1=2026\).

Pour calculer les termes suivants, on doit donc à chaque année ajouter \(2~\%\) d'intérêts composés.
Et donc, pour calculer d'une année à l'autre, il suffit de prendre la somme d'argent présente à l'année précédente et de la multiplier par \(1{,}02\).

• \(v_0=5~000\) (montant présent en \(2025+0=2025\), soit avant l'application de la première année d'intérêts) ;
  
• \(v_1=1{,}02\times 5~000=5~100\) (montant présent sur le livret jeune en \(2025+1=2026\)) ;
• \(v_2=1{,}02\times 5~100=5~202\) (montant présent sur le livret jeune en \(2025+2=2027\)) ;
  
• \(v_3=1{,}02\times 5~202=5~306{,}04\) (montant présent sur le livret jeune en \(2025+3=2028\)).

On voit alors apparaître une relation entre le terme précédent et le terme suivant. En effet, pour calculer le terme suivant, on a toujours procédé de la manière suivante :

• \(v_1=1{,}02\times v_0\)
  
• \(v_2=1{,}02\times v_1\)
  
• \(v_3=1{,}02\times v_2\)
  

Et donc on remarque que, pour calculer \(v_{10}\), on aurait besoin de la relation \(v_{10}=1{,}02\times v_9\).

Nathan : Je vois... donc le livret de Léo est une arnaque...

Clara : En toute honnêteté, je ne suis même pas sûre que cela existe.

Nathan : Bref, je vais t'écrire la formule mathématique pour le livret jeune.
\(\boxed{v_{n+1}=1{,}02\times v_n}\) puisque, pour calculer le terme suivant, on multiplie le précédent par \(1{,}02\).

Clara : Mais oui !